Teorema di De L'Hopital
Esame di Stato
🎓 Il Teorema di De L'Hopital
"Sotto opportune ipotesi, il limite del rapporto di due funzioni che si annullano in $x_0$ equivale al limite del rapporto delle loro derivate."
Passo 1 di X
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🎉 Dimostrazione Completata!
📜 Enunciato e Dimostrazione Completa (Riepilogo)
Ipotesi: Date due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ definite in un intorno $I$ di $x_0$ (escluso al più $x_0$):
1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$ e $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ (forma indeterminata $\frac{0}{0}$)
2. $f(x)$ e $g(x)$ sono derivabili in $I \setminus \{x_0\}$
3. $g'(x) \neq 0$ per ogni $x \in I \setminus \{x_0\}$
4. Esiste il limite $\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ (finito o infinito)
Tesi: Esiste anche il limite del rapporto delle funzioni siffatte e vale: $$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$
Dimostrazione Rigorosa (caso limite $0/0$):
1. Estendiamo con continuità le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ nel punto $x_0$ ponendo:
$$f(x_0) = 0 \quad \text{e} \quad g(x_0) = 0$$ In questo modo le funzioni sono continue nell'intervallo chiuso $[x_0, x]$ e derivabili nell'aperto $(x_0, x)$ (o viceversa se $x \lt x_0$).
2. Per il Teorema di Cauchy applicato nell'intervallo $[x_0, x]$, esiste almeno un punto $c$ strettamente compreso tra $x_0$ e $x$ per cui vale la relazione:
$$\frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$
3. Essendo $f(x_0) = 0$ e $g(x_0) = 0$, la relazione precedente si riduce semplicemente a:
$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$
4. Ora analizziamo il limite per $x \to x_0$. Poiché il punto $c$ è costantemente compreso tra $x_0$ e $x$ ($x_0 \lt c \lt x$), per il Teorema del Confronto (dei Carabinieri), quando $x$ tende a $x_0$, anche $c$ è costretto a tendere a $x_0$:
$$x \to x_0 \implies c \to x_0$$
5. Passando al limite per entrambi i membri della relazione ricavata, possiamo sostituire la variabile limite $c$ con la variabile muta del limite di partenza:
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \to x_0} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$ La tesi è pienamente dimostrata.
1. Estendiamo con continuità le funzioni $f(x)$ e $g(x)$ nel punto $x_0$ ponendo:
$$f(x_0) = 0 \quad \text{e} \quad g(x_0) = 0$$ In questo modo le funzioni sono continue nell'intervallo chiuso $[x_0, x]$ e derivabili nell'aperto $(x_0, x)$ (o viceversa se $x \lt x_0$).
2. Per il Teorema di Cauchy applicato nell'intervallo $[x_0, x]$, esiste almeno un punto $c$ strettamente compreso tra $x_0$ e $x$ per cui vale la relazione:
$$\frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$
3. Essendo $f(x_0) = 0$ e $g(x_0) = 0$, la relazione precedente si riduce semplicemente a:
$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$$
4. Ora analizziamo il limite per $x \to x_0$. Poiché il punto $c$ è costantemente compreso tra $x_0$ e $x$ ($x_0 \lt c \lt x$), per il Teorema del Confronto (dei Carabinieri), quando $x$ tende a $x_0$, anche $c$ è costretto a tendere a $x_0$:
$$x \to x_0 \implies c \to x_0$$
5. Passando al limite per entrambi i membri della relazione ricavata, possiamo sostituire la variabile limite $c$ con la variabile muta del limite di partenza:
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{c \to x_0} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$ La tesi è pienamente dimostrata.